Integral de \( \cos^3 x \)

Derivación y evaluación

Encuentra la integral:

\[ \int \cos^3 x \, dx \]

Escribe la integral separando un solo factor de coseno:

\[ \int \cos^3 x \, dx = \int \cos^2 x \cos x \, dx \]

Utiliza la identidad trigonométrica \( \cos^2 x = 1 - \sin^2 x \) para reescribir el integrando:

\[ \int \cos^3 x \, dx = \int (1 - \sin^2 x) \cos x \, dx \]

Desarrolla el integrando y separa la integral en dos partes:

\[ \int \cos^3 x \, dx = \int \cos x \, dx - \int \sin^2 x \cos x \, dx \]

Utiliza la integración por sustitución para el segundo término: sea \( u = \sin x \), lo que da \( \dfrac{du}{dx} = \cos x \) o \( du = \cos x \, dx \). Al sustituir esto se obtiene:

\[ \int \cos^3 x \, dx = \int \cos x \, dx - \int u^2 \, du \]

Utiliza las fórmulas de integrales estándar para evaluar cada integral:

\[ \int \cos^3 x \, dx = \sin x - \dfrac{1}{3} u^3 + c \]

donde \( c \) es la constante de integración.

Sustituye de nuevo \( u = \sin x \) para encontrar el resultado final: